集合是一门高级抽象的语言

数学的研究源于我们对现实世界的抽象，就是我们从一般经验中提炼出的具有普遍性和高概括性的概念，通过基于抽象结构的符号、运算、形式推理、模型构建等来理解和表达现实世界中事物的性质、关系与规律。在我看来，这是一种映射的作用。数学对现实世界的抽象大体可以分为两类：
1.对数量和数量关系的抽象
2.对图形与图形关系的抽象
这就是人们通常所说的：数学是研究数量关系与空间形式的科学。
虽然对于现代数学，集合所包含的元素具有一般性，但在本质上，集合源于对数量与数量关系的抽象，甚至可以认为，集合概念的确立实现了数量与数量关系抽象的最高层次。基于这个缘由，集合成为现代数学的基本语言:
==这些抽象理论的意义在于它不仅与产生它的具体问题有联系,而且它对于另外一系列问题也有着应用。集合论就是如此。集合的想法与概念已经浸透到所有的数学分支，并且改变了它们的面貌，所以不熟悉集合论的原理就不可能对近代数学获得正确的理解。==
下面我们简单回顾人们对数量和数量关系的抽象历程。这个回顾是有意义的，从中可以把握数学抽象过程的基本特征，不仅可以更加深刻地理解集合语言的本质，而且可以更加深刻地感悟人们是如何“用数学的眼光观察现实世界”的，因此，这样的回顾无论是对数学研究还是对数学教学研究都是重要的。我想，人们对数量和数量关系的抽象历程大体可以分为三个阶段：

第一阶段的抽象：从数量到数字

从远古时代开始，由于日常生活和生产实践的需要，人们创造出一些语言来表达事物(事件与物体)量的多少，在这样的表达中出现了数字。表达的形式是:数字都有后缀名词:表达的内涵是:数字都有具体背景。我们称这种有后缀名词的、有实际背景的、关于量的多少的表达为数量。
为了研究数量之间的关系和运算，必须对数量进行进一步抽象。对数量进一步抽象的结果就是十进制的自然数，用十个符号和十进制的数位进行表达，因此在本质上，自然数是对数量的抽象。对于人类的文明史，十进制自然数的创造是一件非常了不起的成就。后来，数学家用“后继数”的概念创造了似乎与现实世界毫无关系的自然数公理体系，但究其本源，自然数公理体系依然是对现实世界的抽象。
在自然数的抽象过程中，人们把数量之间的关系也一并抽象，形成自然数之间的关系：数量关系的本质是多和少，与此对应，自然数关系的本质是大和小。事实上，“后继数”的概念就是源于自然数的大小关系。后来，人们通过运算（主要是通过逆运算）对自然数进行扩充，完成了对数量以及数量关系第一阶段的抽象。

第二阶段的抽象：从数字到字母

在形式上，字母的表达比数字更为一般，如果说数字符号实现了从感性具体到理性具体的抽象，那么，字母符号则实现了从理性具体到理性一般的抽象。与数字符号一样，人们可以对字母符号进行形式化的运算和推理，使用字母符号的意义在于:字母符号的数学表达具有一般性，因此，通过字母符号进行运算和推理得到的结论
也具有一般性。字母的使用可以追溯到古希腊数学家丟番图(Alexandria Diophantus，约公元 250 年前后),但第一个有意识使用字母表示抽象运算的是法国数学家韦达(Francois Viete,1540-1603)在韦达之前，人们只解决带有数字系数的方程，韦达用ax +bx+c=0的形式统一表示-元二次方程，并且借助方程中的字母系数，给出了表达方程根与系数之间关系的公式，这就是著名的韦达定理。
在 1591 年出版的著作《分析艺术引论》中，韦达划分了算术与代数的区别:算术和数字系数的方程是与数打交道，是关于数字的计算;代数是作用于事物的类别或形式上的方法,是关于类型的计算。法国哲学家、数学家笛卡儿(ReneDescartes，1596-1650)完成了对字母符号的改进，用拉丁字母序列的前几个字母 a、b、c表示已知量，用后几个字母 x、y、z 表示末知量，这种表示方法沿用至今。今天，无论是自然科学还是社会科学，用字母符号表达概念、关系、规律已经成为一种常识，已经逐渐演变为一种符号语言。

第三阶段的抽象：从字母到集合

对于数量的刻画，无论是用数字还是用字母，这样的抽象还只是个案，体现不了数学抽象的结构。比如，可以通过”单调有界有理数数列必有极限”这样的基本事实定义实数，但是，如果不同的”单调有界有理数数列”收敛到同一个实数，那么应当如何用统一的语言表述这样的事实呢?有了集合的语言，就可以把一个”单调有界有理数数列”中的点归为一个集合，通常称这样的集合为点集。在收敛的意义下可以进一步规定如果两个集合收敛到同一个实数,则称这两个集合等价。现代意义集合概念是德国数学家康托(GeorgCantor，1845-1918)给出的，其初衷就是为了表述收敛数列的点集,
集合中的元素可以是非常抽象的东西。如果说数字符号中有数量的影子,字母符号有数字符号的影子，那么集合中的元素只是符号，可以没有任何含义。正是因为这样，集合的概念就舍去了事物的一切物理属性,得到抽象的数学结构,实现了数量与数量关系抽象的更高层次。
可以这样理解集合所表达的抽象结构。比如研究整数，把整数的全体看成一个集合，在这个集合上定义加法运算，并且通过单位元素0得到加法的逆运算减法。我们知道，加法和减法运算对于整数集合是封闭的，那么，我们就可以利用集合所表述的抽象结构，形式化地研究更为一般的问题，比如，可以进行下面的研究。令A是一个形式化的非空的集合,令$\oplus$是定义在集合A上的一个二元运算。如果集合A对这个二元运算满足下面四个条件:

1. 封闭性:对$\forall a、b \in A$,$\exists$唯一确定的元素 $c \in A$，使得 $a \oplus b = c$.
2. 结合律：对$\forall a、b、c \in A$，有$(a \oplus b)\oplus c = a \oplus (b \oplus c)$.
3. 单位元：$\exists \epsilon \in A$,$\forall a \in A$,有$a \oplus \epsilon = \epsilon \oplus a = a$.
4. 逆元素：$\forall a \in A$, $\exists b \in A$, s.t. $a \oplus b = b \oplus a = \epsilon$.

人们通常称上述集合A和运算$\oplus$构成一个“群”。这样,借助集合的语言与运算的法则就构建了一个实实在在的数学结构。在现代数学中，群已经成为一个重要的研究领域，并且成为一种重要的数学语言。虽然在上面所规定的运算中,我们可以看到加法运算或者乘法运算的影子，但是，这样的研究并不顾及集合中的元素是什么，也不顾及运算的结果是什么。因此，这样的研究完全是形式化的，这样研究所得到的结果具有更为广泛的一般性。
生活的经验告诉我们:具体的东西有局限性，但具体的东西容易理解;抽象的东西具有一般性，但抽象的含义很难理解。现在，对于如此抽象的集合概念，我们能抓住这个概念的本质吗?更为现实的问题是，我们能给出集合的定义吗?
集合的定义是形式化的。最初，康托给出了集合的基于内涵的定义:”我们的直觉或思想确定的相异对象的总体。”可是，这样的定义是经不起推敲的:这里所说的对象到底是什么呢?应当如何通过直觉和思想确定对象的总体呢?许多哲学家，包括英国哲学家、数理逻辑学家罗素(Bertrand Russel，1872-1970)提出了一些极具破坏力的悖论。这样，企图用揭示内涵的方法给出集合的定义是不可行的。事实上，对于数学研究所涉及的最为基本的概念，只能采用“名义定义”的方法，也就是通过符号表达的方法对研究对象赋予称谓。
现在，人们使用的集合概念是德国数学家策梅罗(Ernst Zermelo，1871-1953)最初于1908 年给出的。在他的著名论文《关于集合论基础的研究》中，策梅罗指出康托定义的不合理性，因此他采用了德国数学家希尔伯特(David Hilbert,1862-1943)定义几何学基本概念的策略，形式化定义集合：
用A表示集合，用x表示元素。元素x属于A，表示为$x \in A$.(1.1)
这个定义完全是形式化的，根本没有述说什么是集合，也没有述说什么是元素。这样的定义之所以是可行的，是因为在这个定义的基础上，策梅罗通过他所倡导的9条公理，限定了集合的性质和集合的运算。因此，不管研究的是什么东西，只要满足这些公理，得到的结论都是一样的。后来，德国数学家弗兰克尔(AbrahamFraenkel，1891-1965)进行了少量的修改，现在人们称这样的一组公理为ZF 集合论公理体系。
如果用“名义定义”加“公理体系”的方法可以限定集合，那么集合的本质又是什么呢?集合是由元素唯一确定的。既然(1.1)只论及了元素和集合，那么集合就是由元素唯一确定的，这是集合的本质。为了强化这个本质，ZF集合论公理体系的第1条外延公理是这样述说的:
如果集合A的元素都属于集合B，集合B的元素也都属于集合A，那么这两个集合相等。
从表面看，这一条公理似乎在说明什么是集合相等，但在本质上是在说明集合中除了元素别无他物。进一步，基于同一律的要求，这一条公理还蕴含着更为深刻的思想:对于给定的集合，可以清晰地判断一个元素是属于这个集合，还是不属于这个集合。

Personal Comment

这篇文章与我《数学分析》学习课程的理念十分贴合，因此摘录至obsidian库中用作集合论篇章的序言。数学分析主要研究欧氏空间之间映射的微积分性质。要想建立映射的微积分理论，需要极限理论作为准备，而极限理论的基础是数列的极限，为此我们需要构造数系，我们将用集合语言构造自然数、整数和有理数，通过戴德金分割构造实数，并证明实数具有微积分中最重要的性质：完备性
从本文看来，集合语言的产生有其历史必然性：在人类简化问题的历史之中自然而然的产生。集合语言的发展是我们人类认知的进化本身，对表象的认知不断被剥离其具体属性，最终成为了超越现实的概念。
注：本文转载自广雅中学蔡老师的微信公众号，网站因为没有内置latex插件所以数学公式无法正常显示